Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（3，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求sin²x-6cos²x的值；
（2）若f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，求函数f（2x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）根据向量平行，求出tanx的值，从而求出代数式的值即可；
（2）求出f（2x）的解析式，根据正弦函数的单调性解出f（2x）的递减区间即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow{b}$=（3，-1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
∴3sinx-$\sqrt{3}$cosx=0，解得：tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故sin²x-6cos²x=$\frac{{sin}^{2}x-{6cos}^{2}x}{{sin}^{2}x{+cos}^{2}x}$=$\frac{{tan}^{2}x-6}{{tan}^{2}x+1}$=$\frac{27-6}{27+1}$=$\frac{3}{4}$；
（2）f（x）=3sinx-$\sqrt{3}$cosx=2$\sqrt{3}$sin（x-$\frac{π}{6}$），
f（2x）=2$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，
解得：kπ+$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈N，
故函数的递减区间是[kπ+$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{5π}{6}$]，k∈N．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握向量的数量积的运算，以及三角函数的有关性质．