Question

11．已知命题：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命题．
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式$\frac{x+a-2}{x-a}≤0$的解集为N，若x∈N是x∈M的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次不等式的性质进行转化求解即可．
（2）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可．

解答 解：（1）由题意知，方程x²-x-m=0在（-1，1）上有解，
即m的取值范围就是函数y=x²-x在（-1，1）上的值域，易得$M=\left\{{m|-\frac{1}{4}≤m＜2}\right\}$．
（2）因为x∈N是x∈M的必要不充分条件，所以M⊆N且M≠N
若M⊆N，分以下几种情形研究；
①当a=1时，解集N为空集，不满足题意，
②当a＞1时，a＞2-a，此时集合N={x|2-a≤x＜a}，
则$\left\{{\begin{array}{l}{2-a≤-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\end{array}}\right.$解得$a≥\frac{9}{4}$，且$a=\frac{9}{4}$时，M≠N，故$a≥\frac{9}{4}$满足题意，
③当a＜1时，a＜2-a，此时集合N={x|a＜x≤2-a}，
则$\left\{{\begin{array}{l}{a＜-\frac{1}{4}}\\{2-a≥2}\end{array}}\right.$，解得$a＜-\frac{1}{4}$．
综上，$a≥\frac{9}{4}$或$a＜-\frac{1}{4}$时，x∈N是x∈M的必要不充分条件．

点评 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合不等式的关系进行转化是解决本题的关键．