Question

19．在实数集R中定义一种运算“⊙”，具有性质：①对任意a、b∈R，a⊙b=b⊙a；②a⊙0=a；③对任意a、b∈R，（a⊙b）⊙c=（ab）⊙c+（a⊙c）+（b⊙c）-2c，则函数f（x）=x⊙$\frac{1}{x}（{x＞0}）$的最小值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． $3\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据题中给出的对应法则，可得f（x）=（x⊙$\frac{1}{x}$）⊙0=1+x+$\frac{1}{x}$，利用基本不等式求最值可得x+≥$\frac{1}{x}$2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．

解答 解：根据题意，得
f（x）=x⊙$\frac{1}{x}$=（x⊙$\frac{1}{x}$）⊙0=0⊙（x•$\frac{1}{x}$）+（x⊙0）+（$\frac{1}{x}$⊙0）-2×0=1+x+$\frac{1}{x}$
即f（x）=1+x+$\frac{1}{x}$，
∵x＞0，可得x+$\frac{1}{x}$≥2，当且仅当x=1时等号成立，由此可得函数f（x）的最小值为f（1）=3．
故选：B

点评 本题给出新定义，求函数f（x）的最小值．着重考查了利用基本不等式求最值、函数的解析式求法和简单的合情推理等知识，属于中档题．