Question

4．已知集合A=$\left\{{\left.x\right|{{（{\frac{1}{2}}）}^{{x^2}-5x+6}}≥\frac{1}{4}}\right\}，B=\left\{{\left.x\right|{{log}_2}\frac{x-3}{x-1}＜1}\right\}，C=\left\{{\left.x\right|a-1＜x＜a}\right\}$．
（Ⅰ）求A∩B，（∁_RB）∪A；
（Ⅱ）若C⊆A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由指数函数的性质、一元二次不等式的解法求出A，由对数函数的性质、分式不等式的解法求出B，由补集的运算求出∁_RB，由交集、并集的运算分别求出A∩B，（∁_RB）∪A；
（Ⅱ）根据题意和子集的定义列出不等式，求出实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）解：由${（\frac{1}{2}）}^{{x}^{2}-5x+6}≥\frac{1}{4}$得，x²-5x+6≤2，（2分）
即x²-5x+4≤0，解得1≤x≤4，则A={x|1≤x≤4}（4分）
由${log}_{2}\frac{x-3}{x-1}＜1=lo{g}_{2}^{2}$得，$0＜\frac{x-3}{x-1}＜2$，（6分）
由$\frac{x-3}{x-1}＞0$得（x-1）（x-3）＞0，解得x＜1或x＞3，（7分）
由$\frac{x-3}{x-1}＜2$得$\frac{-x-1}{x-1}＜0$，则（-x-1）（x-1）＜0，
即（x+1）（x-1）＞0，解得x＜-1或x＞1，（8分）
所以B={x|x＜-1或x＞3}，∁_RB={x|-1≤x≤3}，（9分）
所以A∩B={x|3＜x≤4}，（∁_RB）∪A={x|-1≤x≤4}；（10分）
（Ⅱ）解：由C⊆A、C≠∅得，$\left\{\begin{array}{l}{a-1≥1}\\{a≤4}\end{array}\right.$，（11分）
解得2≤a≤4，
∴实数a的取值范围是[2，4]（12分）

点评 本题考查交、并、补集的混合运算，子集的定义，分式不等式和一元二次不等式的解法，以及指数函数、对数函数的性质的应用，考查转化思想，化简、变形能力．