Question

13．某小卖部为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数y与当天气温（平均温度）x/°C的对比表：

x	0	1	3	4
y	140	136	129	125

（1）请在图a中画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程$\widehat{y}$=$\widehat{b}$x+$\widehat{a}$；
（3）如果某天的气温是5°C，试根据（2）求出的线性回归方程预测这天大约可以卖出的热饮杯数．
参考公式：最小二乘法求线性回归方程系数公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-，{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$．
参考数据：0×140+1×136+3×129+4×125=1023，（140+136+129+125）÷4=132.5．

Answer 1

分析 （1）根据表中数据，画出散点图即可；
（2）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，根据$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i和$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$的值，求出回归系数$\widehat{b}$和$\widehat{a}$，写出回归方程；
（3）根据回归方程计算x=5时$\widehat{y}$的值即可．

解答 解：（1）根据表中数据，画出散点图，如图所示；
；
（2）计算$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（0+1+3+4）=2，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（140+136+129+125）=132.5，
又$\sum_{i=1}^{4}$x_iy_i=1023，$\sum_{i=1}^{4}$${{x}_{i}}^{2}$=26，
∴$\widehat{b}$=$\frac{1023-4×2×132.5}{26-4{×2}^{2}}$=-3.7，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=132.5-（-3.7）×2=139.9，
故所求线性回归方程为$\widehat{y}$=-3.7x+139.9；
（3）当x=5时，$\widehat{y}$=-3.7×5+139.9=121.4≈121；
预测这天大约可以卖出121杯热饮．

点评 本题考查了散点图与线性回归方程的求法与应用问题，是基础题目．