Question

3．已知α是第二象限角，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求sin2α、cos2α．

Answer 1

分析 由题意和平方关系化简已知的式子，由二倍角的正弦公式求出sin2α，由条件和三角函数值的符号缩小α的范围，求出2α的范围，由平方关系和三角函数值的符号求出cos2α．

解答 解：由题意得，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
两边平方得，1-2sinαcosα=$\frac{1}{3}$，则sin2α=$\frac{2}{3}$，
因α是第二象限角，sinα+cosα=$\frac{\sqrt{3}}{3}$＞0，
所以|sinα|＞|cosα|，即$\frac{π}{2}+2kπ＜α＜\frac{3π}{4}+2kπ（k∈Z）$，
所以$π+4kπ＜2α＜\frac{3π}{2}+4kπ（k∈Z）$，
则cos2α=-$\sqrt{1-si{n}^{2}2α}$=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$，
即sin2α=$\frac{2}{3}$，cos2α=$-\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查二倍角的正弦公式，平方关系、三角函数值的符号，以及α范围判断的方法，属于中档题．