Question

8．如图，A，B为抛物线y²=4x上的两点，F为抛物线的焦点且FA⊥FB，C为直线AB上一点且横坐标为-1，连结FC．若|BF|=3|AF|，则tanC=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=$\sqrt{10}$a，做FH⊥AB于H，求出|FH|，|CH|，即可得出结论．

解答 解：如图所示，设|AF|=a，|BF|=3a，可得|AB|=$\sqrt{10}$a，
作AA′⊥l（l为抛物线的准线），则|AA′|=|AF|=a，|BB′|=|BF|=3a，
|A′B′|=|AD|=$\sqrt{6}$a．△CA′A∽△CB′B，可得$\frac{AA′}{BB′}$=$\frac{1}{3}$，
CA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
做FH⊥AB于H，△ABF三边长为a，3a，$\sqrt{10}$a，
∴|FH|=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$a，|AH|=$\frac{\sqrt{10}}{10}$a，
∴tanC=$\frac{|FH|}{|CH|}$=$\frac{\frac{3\sqrt{10}}{10}a}{\frac{\sqrt{10}}{2}a+\frac{\sqrt{10}}{10}a}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了抛物线的定义，考查三角形相似的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．