Question

20．设函数f（x）=-2^x，g（x）=lg（ax²-2x+1），若对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-1，0）
• B． （0，1）
• C． （-∞，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由题意求出f（x）的值域，再把对任意x₁∈R，都存在x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂）转化为函数g（x）的值域包含f（x）的值域，进一步转化为关于a的不等式求解．

解答 解：∵f（x）=-2^x＜0，
∴?x₁∈R，f（x）=-2^x∈（-∞，0），
∵?x₂∈R，使f（x₁）=g（x₂），
∴g（x）=lg（ax²-2x+1）的值域包含（-∞，0），
设y=ax²-2x+1的值域为B，
则（0，1]⊆B．
由题意当a=0时，上式成立．
当a＞0时，△=4-4a≥0，解得0＜a≤1．
当a＜0时，y_max=$\frac{4a-4}{4a}$≥1，即$-\frac{1}{a}$≥0恒成立．
综上，a≤1．
∴实数a的取值范围是（-∞，1]．
故选：C．

点评 本题考查函数的值域，体现了数学转化思想方法，正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．