Question

5．如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为正方形，△SAD是正三角形，P，Q分别是棱SC，AB的中点，且平面SAD⊥平面ABCD．
（1）求证：PQ∥平面SAD；
（2）求证：SQ⊥AC．

Answer 1

分析 （1）取SD中点F，连结AF，PF．证明PQ∥AF．利用直线与平面平行的判定定理证明PQ∥平面SAD．
（2）连结BD，证明SE⊥AD．推出SE⊥平面ABCD，得到SE⊥AC．证明EQ⊥AC，然后证明AC⊥平面SEQ，即可证明结论．

解答 证明：（1）取SD中点F，连结AF，PF．
∵P，F分别是棱SC，SD的中点，∴FP∥CD，且$FP=\frac{1}{2}CD$，
∵在正方形ABCD中，Q是AB的中点，
∴AQ∥CD，且$AQ=\frac{1}{2}CD$，即FP∥AQ且FP=AQ，
∴AQPF为平行四边形，则PQ∥AF，
∵PQ?平面SAD，AF?平面SAD，∴PQ∥平面SAD．…（6分）
（2）连结BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
取AD中点E，连SE，EQ，
∵Q为AB中点，∴EQ∥BD，∴AC⊥EQ．
∵SA=SD，∴SE⊥AD，
∵平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，∴SE⊥平面ABCD，
又AC?平面ABCD，∴AC⊥SE，
∵SE∩EQ=E，SE，EQ?平面SEQ，∴AC⊥平面SEQ，
∵SQ?平面SEQ，∴SQ⊥AC．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行以及直线与平面垂直的判定定理的应用，棱锥的体积的求法，考查计算能力，属于中档题．