Question

10．设函数$f（x）=lnx-ax-\frac{1}{x}-1$．
（1）当a=1时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（2）当$a=\frac{3}{4}$时，求函数f（x）的单调区间；
（3）在（2）的条件下，设函数$g（x）={x^2}-2bx-\frac{5}{12}$，若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（3）问题转化为g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$-\frac{11}{4}$，通过讨论b的范围，得到函数的单调性，从而确定b的范围即可．

解答 解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-a+\frac{1}{x^2}$．
（1）当a=1时，$f（x）=lnx-x-\frac{1}{x}-1$，∴f（1）=-3，
$f'（x）=\frac{1}{x}-1+\frac{1}{x^2}$，∴f'（1）=1，
∴f（x）在x=1处的切线方程为y-3=x-1，
即x-y-4=0．
（2）当$a=\frac{3}{4}$时，$f'（x）=-\frac{{3{x^2}-4x-4}}{{4{x^2}}}=-\frac{（x-2）（3x+2）}{{4{x^2}}}$．
所以当0＜x＜2，f'（x）＞0，当x＞2时，f'（x）＜0，
故当$a=\frac{3}{4}$时，函数f（x）的单调递增区间为（0，2），单调递减区间为（2，+∞）．
（3）当$a=\frac{3}{4}$时，由（2）知函数f（x）在区间[1，2]上为增函数，
所以函数f（x）在[1，2]上的最小值为$f（1）=-\frac{11}{4}$．
若对于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂）成立
?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值$-\frac{11}{4}$（※）．
又$g（x）={x^2}-2bx-\frac{5}{12}={（x-b）^2}-{b^2}-\frac{5}{12}，x∈[0，1]$．
①当b＜0时，g（x）在[0，1]上为增函数，
$g{（x）_{min}}=g（0）=-\frac{5}{12}＞-\frac{11}{4}$与（※）矛盾．
②当0≤b≤1时，$g{（x）_{min}}=g（b）=-{b^2}-\frac{5}{12}$，
由$-{b^2}-\frac{5}{12}≤-\frac{11}{4}$及0≤b≤1得b无解．
③当b＞1时，g（x）在[0，1]上为减函数，
$g{（x）_{min}}=g（1）=\frac{7}{12}-2b≤-\frac{11}{4}$，此时$b≥\frac{5}{3}$．
综上所述，b的取值范围是$[\frac{5}{3}，+∞）$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．