Question

9．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在（495，510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．
表1：（乙流水线样本频数分布表）　

产品重量（克）	频数
（490，495]	6
（495，500]	8
（500，505]	14
（505，510]	8
（510，515]	4

（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望； （Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取x²+y²=2件，求其中超过合格品重量的件数l：y=kx-2的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面$\frac{π}{2}$列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条资动包装流水线的选择有关”．

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=	b=
不合格品	c=	d=
合　计			n=

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

附：下面的临界值表供参考：
（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算甲样本中合格品数与频率，利用独立重复试验的概率公式计算EX的值；
（Ⅱ）计算乙流水线样本中不合格品数，求出Y的可能取值，写出Y的分布列；
（Ⅲ）填写2×2列联表，计算K²，对照临界值表得出结论．

解答 解：（Ⅰ）由图1知，甲样本中合格品数为（0.06+0.09+0.03）×5×40=36，
∴合格品的频率为$\frac{36}{40}$=0.9，
由此可估计从甲流水线上任取一件产品，该产品为合格品的概率为P=0.9；
则X～B（5，0.9），
∴EX=5×0.9=4.5；
（Ⅱ）由表1知乙流水线样本中不合格品共10个，超过合格品重量的有4件，
则Y的取值为0，1，2；
且$P（Y=k）=\frac{{C_4^k•C_6^{2-k}}}{{C_{10}^2}}\;\;\;（k=0，1，2）$，
于是有：$P（Y=0）=\frac{1}{3}\;，\;\;\;P（Y=1）=\frac{8}{15}\;，\;P（Y=2）=\frac{2}{15}$；
∴Y的分布列为

Y	0	1	2
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{2}{15}$

（Ⅲ）2×2列联表如下：

	甲流水线	乙流水线	合计
合格品	a=36	b=30	66
不合格品	c=4	d=10	14
合　计	40	40	n=80

计算${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{{80×{{（360-120）}^2}}}{66×14×40×40}≈3.117$＞2.706，
∴有90%的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．

点评 本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题目．