Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a_n+S_n=2．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）运用当n=1时，a₁+S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，结合等比数列的通项公式即可得到；
（2）求得${b_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，由数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．

解答 解：（1）当n=1时，a₁+S₁=2a₁=2，∴a₁=1．
当n≥2时，由a_n+S_n=2及a_n-1+S_n-1=2，得a_n-a_n-1+S_n-S_n-1=0，
即2a_n=a_n-1，$\frac{a_n}{{{a_{n-1}}}}=\frac{1}{2}$．
∴数列{a_n}为首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列．
∴${a_n}=1×{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}=\frac{1}{{{2^{n-1}}}}$．
（2）由（1）得${b_n}=\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$，
${T_n}=\frac{1}{2^0}+\frac{2}{2^1}+\frac{3}{2^2}+…+\frac{n}{{{2^{n-1}}}}$．
$\frac{1}{2}{T_n}=\frac{1}{2^1}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3}+…+\frac{n}{2^n}$，
两式相减得$\frac{1}{2}{T_n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+…+\frac{1}{{{2^{n-1}}}}-\frac{n}{2^n}=\frac{{1-\frac{1}{2^n}}}{{1-\frac{1}{2}}}-\frac{n}{2^n}=2-\frac{n+2}{2^n}$．
∴${T_n}=4-\frac{n+2}{{{2^{n-1}}}}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用当n=1时，a₁+S₁，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，考查等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．