Question

4．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x（吨），一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中a的值；
（Ⅱ）若该市有110万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，请说明理由；
（Ⅲ）若该市政府希望使80%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值（精确到0.01），并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1，列出方程求出a的值；
（Ⅱ）由图计算不低于3吨的频率和频数即可；
（Ⅲ）由图计算月均用水量小于2.5吨的频率和月均用水量小于3吨的频率，
假设月均用水量平均分布，由此求出x的值．

解答 解：（Ⅰ）由概率统计相关知识，各组频率和为1，
即0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04）=1，
解得a=0.4；…（3分）
（Ⅱ）由图知，不低于3吨的人数所占比例为
0.5×（0.12+0.08+0.04）=0.12，
∴全市月均用水量不低于3吨的人数为
110×0.12=13.2（万）；…（7分）
（Ⅲ）由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占比例为
0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4+0.52）=0.73，…（9分）
即73%的居民月均用水量小于2.5吨；
同理，88%的居民月均用水量小于3吨，故2.5＜x＜3；
假设月均用水量平均分布，则
$x=2.5+0.5×\frac{（0.8-0.73）÷0.5}{0.3}≈2.73$（吨）．…（12分）

点评 本题考查了利用频率分布直方图求频率、频数的应用问题，是基础题目．