Question

19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F₁（-1，0），离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆G 的标准方程；
（2）已知直线l₁：y=kx+m₁与椭圆G交于 A，B两点，直线l₂：y=kx+m₂（m₁≠m₂）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．
①证明：m₁+m₂=0；
②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．

Answer 1

分析 （1）由焦点坐标及离心率可求得a、b、c即可．
（2）①利用弦长公式及韦达定理，表示出由|AB|、|CD|，由|AB|=|CD|得到m₁+m₂=0，
②边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=$\frac{|{m}_{1}-{m}_{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
由m₁+m₂=0得s=|AB|×d=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}•$×$\frac{|2{m}_{1}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$≤4\sqrt{2}\frac{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1+{{m}_{1}}^{2}}{2}}{1+2{k}^{2}}=2\sqrt{2}$．即可．

解答 解：（1）设椭圆G的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）
∵左焦点为F₁（-1，0），离心率e=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．∴c=1，a=$\sqrt{2}$，
b²=a²-c²=1
椭圆G 的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）
①证明：由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{m}_{1}}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$消去y得（1+2k²）x²+4km₁x+2m₁²-2=0
$△=8（2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1）＞0$，
x₁+x₂=$\frac{-4k{m}_{1}}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{{m}_{1}}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$；
|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$；

同理|CD|=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{2}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$，
由|AB|=|CD|得2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}\frac{\sqrt{2{k}^{2}-{{m}_{2}}^{2}+1}}{1+2{k}^{2}}$，
∵m₁≠m₂，∴m₁+m₂=0
②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=$\frac{|{m}_{1}-{m}_{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∵m₁+m₂=0，∴$d=\frac{|2{m}_{1}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
∴s=|AB|×d=2$\sqrt{2}$$\sqrt{1+{k}^{2}}•\sqrt{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1}{（1+2{k}^{2}）^{2}}}•$×$\frac{|2{m}_{1}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$
=$≤4\sqrt{2}\frac{\frac{2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1+{{m}_{1}}^{2}}{2}}{1+2{k}^{2}}=2\sqrt{2}$.$4\sqrt{2}•\frac{\sqrt{（2{k}^{2}-{{m}_{1}}^{2}+1）{{m}_{1}}^{2}}}{1+2{k}^{2}}$
所以当2k²+1=2m₁²时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为2$\sqrt{2}$

点评 本题考查了椭圆的方程，弦长公式、韦达定理、运算能力，属于中档题．