Question

7．在平面直角坐标系中，A（1，-1），B（1，3），点C在直线x-y+1=0上．
（1）若直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，求直线AC的方程；
（2）点B关于y轴对称点为D，若以DC为直径的圆M过点A，求C的坐标．

Answer 1

分析 （1）设点C（x，x+1）（x≠1），利用直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，建立方程，求出C的坐标，即可求直线AC的方程；
（2）求出D的坐标，利用以DC为直径的圆M过点A，k_AD•k_AC=-1，即可求C的坐标．

解答 解：（1）∵点C在直线x-y+1=0上，∴可设点C（x，x+1）（x≠1），
∵直线AC的斜率是直线BC的斜率的2倍，∴$\frac{x+1+1}{x-1}=\frac{{2（{x+1-3}）}}{x-1}$，解得x=6，
则点C（6，7），∴直线AC方程为$\frac{y+1}{x-1}=\frac{7+1}{6-1}$，即8x-5y-13=0．
（2）∵点B关于y轴对称点D，∴D（-1，3），
∵以DC为直径的圆M过点A，∴k_AD•k_AC=-1，即$\frac{x+1+1}{x-1}•\frac{3+1}{-1-1}=-1$，
解得x=-5，即C（-5，-4），∴圆M的圆心坐标为$（{-3，-\frac{1}{2}}）$．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查斜率公式的运用，属于中档题．