Question

设命题p：f（x）=

2

x-m

在区间（1，+∞）上是减函数；命题q；x₁x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根，不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意实数α∈[-1，1]恒成立；若￢p∧q为真，试求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：先根据分式函数的单调性求出命题p为真时m的取值范围，然后根据题意求出|x₁-x₂|的最大值，再解不等式，若-p∧q为真则命题p假q真，从而可求出m的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

2

x-m

在区间（-∞，m），（m，+∞）上是减函数，而已知在区间（1，+∞）上是减函数，
∴m≤1，即命题p为真命题时m＜1，命题p为假命题时m＞1，
∵x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的两个实根
∴

x1+x2=a x1x2=-2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

∴当a∈[-1，1]时，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|对任意实数m∈[-1，1]恒成立．
可得：m²+5m-3≥3，∴m≥1或m≤-6，
∴命题q为真命题时m≥1或m≤-6，
∵-p∧q为真，
∴命题p假q真，即

m＞1 m≥1或m≤-6

，
∴实数m的取值范围是m＞1．

点评：本题主要考查了命题真假的判断的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．