Question

16．（1）如果关于x的不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集，求m的取值范围；
（2）若a，b均为正数，求证：a^ab^b≥a^bb^a．

Answer 1

分析 （1）利用绝对值不等式推出|x+1|+|x-5|≥6，转化不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集，推出m即可；
（2）利用分析法，集合指数函数的性质，推出结果即可．

解答 （本小题满分10分）
解：（1）令$y=|x+1|+|x-5|=\left\{{\begin{array}{l}{-2x+4}\\ 6\\{2x-4}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{，x≤-1}\\{，-1＜x＜5}\\{，x≥5}\end{array}$，可知|x+1|+|x-5|≥6，故要使不等式|x+1|+|x-5|≤m的解集不是空集，有m≥6．（5分）
（2）证明：由a，b均为正数，则要证a^ab^b≥a^bb^a，只需证a^a-bb^b-a≥1，整理得${（\frac{a}{b}）^{a-b}}≥1$，
由于当a≥b时，a-b≥0，可得${（\frac{a}{b}）^{a-b}}≥1$，
当a＜b时，a-b＜0，可得${（\frac{a}{b}）^{a-b}}＞1$，可知a，b均为正数时${（\frac{a}{b}）^{a-b}}≥1$，
当且仅当a=b时等号成立，
从而a^ab^b≥a^bb^a成立．（10分）

点评 本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法及不等式证明等内容．本小题重点考查考生的化归与转化思想．