Question

9．椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F₁，F₂在x轴上，已知A，B分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF₁⊥x轴，PF₂∥AB，则此椭圆的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 如图所示，把x=-c代入椭圆标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得P$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，由PF₂∥AB，可得k_AB=${k}_{P{F}_{2}}$，即可得出．

解答 解：如图所示，把x=-c代入椭圆标准方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）．
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$．
取P$（-c，\frac{{b}^{2}}{a}）$，又A（0，b），B（a，0），F₂（c，0），
∴k_AB=-$\frac{b}{a}$，${k}_{P{F}_{2}}$=$\frac{\frac{{b}^{2}}{a}}{-c-c}$=-$\frac{{b}^{2}}{2ac}$．
∵PF₂∥AB，∴-$\frac{b}{a}$=-$\frac{{b}^{2}}{2ac}$，化为：b=2c．
∴4c²=b²=a²-c²，即a²=5c²，解得a=$\sqrt{5}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、平行线与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．