Question

2．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研究新产品成功的概率分别为$\frac{3}{4}$和$\frac{3}{5}$，现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．
（1）求恰好有一种新产品研发成功的概率；
（2）若新产品A研发成功，预计企业可获得利润120万元，不成功则会亏损50万元；若新产品B研发成功，企业可获得利润100万元，不成功则会亏损40万元，求该企业获利ξ万元的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，利用相互独立与互斥事件的概率计算公式可得P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）．
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则X的取值有-90，50，80，220．由独立试验的概率计算公式可得，P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{3}{5}$），P（X=50）=$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{3}{5}$，P（X=80）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{5}）$，
P（X=220）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$．

解答 解：（1）设恰好有一种新产品研发成功为事件A，则
P（A）=（1-$\frac{3}{4}$）×$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$×（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{9}{20}$．
（2）由题可得设企业可获得利润为ξ，则X的取值有-90，50，80，220．
由独立试验的概率计算公式可得，P（X=0）=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{3}{5}$）=$\frac{1}{10}$，
P（X=50）=$（1-\frac{3}{4}）$×$\frac{3}{5}$=$\frac{3}{20}$，
P（X=80）=$\frac{3}{4}×（1-\frac{3}{5}）$=$\frac{3}{10}$，
P（X=220）=$\frac{3}{4}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{20}$．
∴ξ的分布列如下：

X	-90	50	80	220
P	$\frac{1}{10}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{9}{20}$

则数学期望E（X）=$-90×\frac{1}{10}$+50×$\frac{3}{20}$+$80×\frac{3}{10}$+220×$\frac{9}{20}$=121.5万元．

点评 本题考查了相互独立与互斥事件的概率计算公式、随机变量的分布列与数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．