Question

13．给出下列结论：
动点M（x，y）分别到两定点（-4，0），（4，0）连线的斜率之乘积为-$\frac{9}{16}$，设M（x，y）的轨迹为曲线C，F₁、F₂分别为曲线C的左右焦点，则下列命题中：
（1）曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0）；
（2）曲线C上存在一点M，使得S△_F1MF2=9；
（3）P为曲线C上一点，P，F₁，F₂是直角三角形的三个顶点，且|PF₁|＞|PF₂|，$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值为$\frac{23}{9}$；
（4）设A（1，1），动点P在曲线C上，则|PA|+|PF₁|的最大值为8+$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$；
其中正确命题的序号是③④．

Answer 1

分析 设M（x，y），由题意可得k_MA•k_MB=-$\frac{9}{16}$，运用直线的斜率公式，化简即可得到点P的轨迹为曲线C是以F₁（-$\sqrt{7}$，0），F₂（$\sqrt{7}$，0）为焦点的椭圆，根据椭圆的性质可逐一判定．

解答 解：设M（x，y），则k_MA•k_MB=$\frac{y}{x+4}•\frac{y}{x-4}=-\frac{9}{16}$，化简得$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{9}=1\\;（x≠±4）$
曲线C是以F₁（-$\sqrt{7}$，0），F₂（$\sqrt{7}$，0）为焦点的椭圆，
对于（1），曲线C的焦点坐标为F₁（-5，0），F₂（5，0）错；
对于（2），因为b²=9，要使S△_F1MF2=9，必须要存在点M，使∠F₁MF₂=90⁰
∵c=$\sqrt{7}＜b$=3，∴不存在M，使得S△_F1MF2=9，故错；
对于（3），由（2）得，P为曲线C上一点，P，F₁，F₂是直角三角形的三个顶点，
且|PF₁|＞|PF₂|，则必有PF₁⊥F₁F₂
|PF₁|=$\frac{{b}^{2}}{a}=\frac{9}{4}$，|PF₂|=2a-|PF₁|=$\frac{23}{4}$，∴$\frac{|P{F}_{1}|}{|P{F}_{2}|}$的值为$\frac{23}{9}$，正确；
对于（4），则|PA|+|PF₁|=2a+|PA|-|PF₂|≤2a+|PA|=8+$\sqrt{9-2\sqrt{7}}$，故正确；
故答案为：③④

点评 本题考查了椭圆的方程及性质，结合平面几何的知识是关键，属于难题．