Question

5．已知函数$f（x）={e^x}-{e^{-x}}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$（其中e≈2.718），若对任意的x∈[-1，2]，f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立，则实数a的取值范围是-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 判断函数f（x）是R上的奇函数，且是增函数；
把f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立化为x²+2≥2ax恒成立，
设g（x）=x²-2ax+2，利用二次函数的图象与性质，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：函数$f（x）={e^x}-{e^{-x}}+ln（x+\sqrt{{x^2}+1}）$（其中e≈2.718），x∈R；
且f（-x）=e^-x-e^x+ln（-x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-（e^x-e^-x）-ln（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）=-f（x），
∴f（x）是R上的奇函数，
又f′（x）=e^x+e^-x+$\frac{1+\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}}{x+\sqrt{{x}^{2}+1}}$＞0恒成立，
∴f（x）是定义域R上的单调增函数；
若对任意的x∈[-1，2]，f（x²+2）+f（-2ax）≥0恒成立，
∴f（x²+2）≥-f（-2ax）恒成立，
∴f（x²+2）≥f（2ax）恒成立，
∴x²+2≥2ax恒成立，
即x²-2ax+2≥0在x∈[-1，2]上恒成立；
设g（x）=x²-2ax+2，其对称轴为x=a，且开口向上；
应满足$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{g（-1）=1+2a+2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＞2}\\{g（2）=4-4a+2≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤2}\\{g（a）{=a}^{2}-{2a}^{2}+2≥0}\end{array}\right.$；
解得-$\frac{3}{2}$≤a＜-1或∅或-1≤a≤$\sqrt{2}$；
∴实数a的取值范围是-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．
故答案为：-$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了分类讨论与转化思想的应用问题，是综合性题目．