Question

16．以下是新兵训练时，某炮兵连8周中炮弹对同一目标的命中情况的柱状图：
 
（1）计算该炮兵连这8周中总的命中频率p₀，并确定第几周的命中频率最高；
（2）以（1）中的p₀作为该炮兵连炮兵甲对同一目标的命中率，若每次发射相互独立，且炮兵甲发射3次，记命中的次数为X，求X的数学期望；
（3）以（1）中的p₀作为该炮兵连炮兵对同一目标的命中率，试问至少要用多少枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99？（取lg0.4=-0.398）

Answer 1

分析 （1）先求出这8周总总命中炮数和总未命中炮数，由此能求出该炮兵连这8周中总的命中频率，从而根据表中数据能求出第8周的命中率最高．
（2）由题意知X～B（3，0.6），由此能求出X的数学期望．
（3）由1-（1-P₀）ⁿ＞0.99，得0.4ⁿ＜0.01，由此能求出至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99．

解答 解：（1）这8周总总命中炮数为：40+45+46+49+47+49+53+52=381，
总未命中炮数为32+34+30+32+35+33+30+28=254，
∴该炮兵连这8周中总的命中频率p₀=$\frac{381}{381+254}=0.6$，
∵$\frac{52}{28}＞\frac{53}{30}$，
∴根据表中数据知第8周的命中率最高．
（2）由题意知X～B（3，0.6），
则X的数学期望为E（X）=3×0.6=1.8．
（3）由1-（1-P₀）ⁿ＞0.99，解得0.4ⁿ＜0.01，
∴n＞log_0.40.01=$\frac{lg0.01}{lg0.4}$=-$\frac{2}{lg0.4}$=$\frac{2}{0.398}$≈5.025，
∴至少要用6枚这样的炮弹同时对该目标发射一次，才能使目标被击中的概率超过0.99．

点评 本题考查频率的求法及应用，考查概率的求法及应用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的合理运用．