Question

10．正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，E，F，G为 AB，AA₁，A₁C₁的中点，则B₁F与面GEF成角的正弦值（　　）

• A． $\frac{5}{6}$
• B． $\frac{3}{5}$
• C． $\frac{3\sqrt{3}}{10}$
• D． $\frac{3\sqrt{6}}{10}$

Answer 1

分析 利用等体积，计算B₁到平面EFG距离，再利用正弦函数，可求B₁F 与面GEF成角的正弦值．

解答 解：取A₁B₁中点M，连接EM，则EM∥AA₁，EM⊥平面ABC，连接GM
∵G为A₁C₁的中点，棱长为
∴GM=$\frac{1}{2}$B₁C₁=1，A₁G═A₁F=1，FG=$\sqrt{2}$，FE=$\sqrt{2}$，GE=$\sqrt{5}$，
在平面EFG上作FN⊥GE，则∵△GFE是等腰三角形，∴FN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△GEF=$\frac{1}{2}$GE×FN=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
${S}_{△EF{B}_{1}}$=${S}_{正方形AB{B}_{1}{A}_{1}}$-${S}_{△{A}_{1}{B}_{1}F}$-${S}_{△B{B}_{1}E}$-S_△AFE=$\frac{3}{2}$，
作GH⊥A₁B₁，GH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${V}_{三棱锥G-FE{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}$${S}_{△EF{B}_{1}}$×GH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
设B₁到平面EFG距离为h，则${V}_{三棱锥{B}_{1}-EFG}$=$\frac{h}{3}$S_△GEF=$\frac{\sqrt{15}h}{12}$，
∵${V}_{三棱锥G-FE{B}_{1}}$=${V}_{三棱锥{B}_{1}-EFG}$，
∴$\frac{\sqrt{15}h}{12}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴h=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
设B₁F与平面GEF成角为θ，
∵B₁F=$\sqrt{5}$
∴sinθ=$\frac{h}{{B}_{1}F}$=$\frac{3}{5}$，
∴B₁F与面GEF所成的角的正弦值为$\frac{3}{5}$．
故选B．

点评 本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．