Question

18．已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若（2a-c）cosB=bcosC，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-3．
（1）求△ABC的面积；
（2）求AC边的最小值．

Answer 1

分析 （1）由（2a-c）cosB=bcosC，求出B，利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}$=-3，求出ac，即可求△ABC的面积；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式，即可求AC边的最小值．

解答 解：（1）∵（2a-c）cosB=bcosC，由正弦定理可化为：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC?2sinAcosB=sinCcosB+cosCsinB=sin（B+C）=sinA…（2分）∵0＜A＜π，∴sinA≠0，即$cosB=\frac{1}{2}$，
∵0＜B＜π，∴B=$\frac{π}{3}$，…（3分）
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-3$，得accos（π-B）=-3，∴$-accos\frac{π}{3}=-3$，即ac=6，…（4分）
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{1}{2}acsin\frac{π}{3}=\frac{1}{2}×6×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$，…（6分）
（2）由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，…（7分）
解得：b²=a²+c²-6                    …（8分）
配方，得：b²=（a+c）²-18 …（9分）
由均值不等式知：a+c≥2$\sqrt{ac}$=2$\sqrt{6}$      …（10分）
∴b²=（a+c）²-18≥6
∴AC=b≥$\sqrt{6}$，即AC边的最小值为为$\sqrt{6}$．…（12分）

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查基本不等式，考查向量知识的运用，属于中档题．