Question

6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a．
（1）求角A的大小；
（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间[-$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{4}$]上值域．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，由于sinA≠0，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，结合A的范围即可得解A的值．
（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由已知可求T，利用周期公式可求ω，利用三角函数平移变换可求g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），由x的范围，利用正弦函数的性质可求g（x）的值域．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinA，
∵A为锐角，sinA≠0，
∴sinBcosC+sinCcosB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得：sin（B+C）=sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，可得：tanA=$\sqrt{3}$，
∴f（x）=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$cos2ωx=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），
∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为$\frac{π}{2}$，可得：T=2×$\frac{π}{2}$=$\frac{2π}{2ω}$，解得：ω=1，
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴将函数y=f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin[2（x+$\frac{π}{4}$）-$\frac{π}{6}$]=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∵x∈[-$\frac{π}{24}$，$\frac{π}{4}$]，可得：2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{1}{2}$，1]．

点评 本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，三角函数平移变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．