Question

17．已知实数a，b满足-2≤a≤2，-2≤b≤2，则函数y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax²+bx-1有三个单调区间的概率为（　　）

• A． $\frac{1}{8}$
• B． $\frac{1}{6}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 关键是要找出函数y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax²+bx-1有三个单调区间，就是函数有2个极值点，求出对应的可行域面积的大小和实数a，b满足-2≤a≤2，-2≤b≤2对应的图形面积的大小．然后求解概率．

解答 解：∵函数y=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ax²+bx-1有三个单调区间，就是函数有2个极值点，∴y′=x²-$\sqrt{2}$ax+b，存在2个零点，
即x²-$\sqrt{2}$ax+b=0有2个实数解，其充要条件是△=2a²-4b＞0．
即 a²＞2b．
如图所示，区域-2≤a≤2，-2≤b≤2的面积（图中正方形所示）为4
而区域a²≥b，
在条件-2≤a≤2，-2≤b≤2下的面积（图中阴影所示）为：
8+2∫₀²（$\frac{1}{2}$）a²da=8+2×（$\frac{1}{6}{a}^{3}$）|₀²=$\frac{32}{3}$．
所求概率为：$\frac{\frac{32}{3}}{16}$=$\frac{2}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查函数的极值的求法，几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、含面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据公式求解．