Question

已知数列{x_n}满足x₂=

x1

2

，x_n=

1

2

（x_n-1+x_n-2），n=3，4，…．若

lim

n→∞

xn=2，则x₁=（　　）

• A、

  3

  2

• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

分析：要求极限，先求通项，而条件只是一个递推关系且复杂，故宜采用归纳法猜测通项．并注意无穷递缩等比数列的极限

解答：解：∵x2=

1

2

x1，且xn=

1

2

(xn-1+xn-2)令n=3，
得x3=

1

2

(x2+x1)=

3

4

x1，令n=4，
得x4=

1

2

(x2+x3)  =

5

8

x1，
∴x2-x1=-

1

2

x1，x3-x2=

1

4

x1，x4-x3=-

1

8

x1，…，xn- xn-1 =(-

1

2

)n-1，
于是x_n=x₁+（x₂-x₁）+…+（x_n-x_n-1）=x1+

- 1 2 x1[1-(- 1 2 )n-2]

1+ 1 2

∴

lim

n→∞

xn=x1-

1

3

x1=2，x₁=3．故选B

点评：求出前几项后，从什么角度求通项呢，一般是看差和商，采用叠加或累乘法．