Question

在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形的面积最大时，其梯形的上底长为

r

．

Answer 1

分析：假设梯形的上底长，将高用上底表示，从而表示出面积，利用导数求函数的最值．

解答：解：设梯形的上底长为2x，高为h，面积为S，
∵h=

r2-x2

，∴S=(r+x)•  

r2-x2

，S/=

(r-2x)(r+x)

r2-x2

令S′=0，得x=

r

2

（x=-r舍），则h=

3

2

r．
当x∈（0，

r

2

）时，S′＞0；当

r

2

＜x＜r时，S′＜0．
∴当x=

r

2

时，S取极大值．∴当梯形的上底长为r时，它的面积最大．
故答案为：r

点评：解决实际问题的关键在于建立数学模型和目标函数，把“问题情境”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系抽象成数学问题，在数学领域寻找适当的方法解决，再返回到实际问题中加以说明．