Question

15．已知函数f（x）=（1+$\sqrt{3}$tanx）cos²x．
（1）若α为第二象限角，且sina=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，求f（α）的值；
（2）求函数f（x）的定义域和值域．

Answer 1

分析 （1）由α为第二象限角及sina的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα及tanα的值，再代入f（α）中即可得到结果．
（2）函数f（x）解析式利用二倍角和辅助角公式将f（x）化为一个角的正弦函数，根据x的范围，即可得到函数值域．

解答 解：（1）∵α为第二象限角，且sina=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cosα=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴tanα=-$\sqrt{2}$，
∴f（α）=（1+$\sqrt{3}$tanα）cos²α=$\frac{1-\sqrt{6}}{3}$
（2）函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}，
化简f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
∵x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z
∴2x+$\frac{π}{6}$≠2kπ+$\frac{7π}{6}$，k∈Z
∴-1≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1
∴-$\frac{1}{2}$≤f（x）≤$\frac{3}{2}$
∴f（x）的值域为[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查二倍角和辅助角公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．