【题目】(文)已知矩形ABB1A1是圆柱体的轴截面,O、O1分别是下底面圆和上底面圆的圆心,母线长与底面圆的直径长之比为2:1,且该圆柱体的体积为32π,如图所示.
(1)求圆柱体的侧面积S侧的值;
(2)若C1是半圆弧 的中点,点C在半径OA上,且OC=
OA,异面直线CC1与BB1所成的角为θ,求sinθ的值.
【答案】
(1)解:设圆柱的底面圆的半径为R,依据题意,有AA1=2AB=4R,
∴πR2AA1=32π,
∴R=2.
∴S侧=2πRAA1=32π.
(2)解:设D是线段A1O1的中点,联结D1C,DC,O1C1,则C1O1⊥A1B1,CO∥BB1.
因此,∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角,即∠C1CD=θ.
又R=2,∠C1CD=,∠C1O1D=90°,
∴DC1= ,CC1=
.
∴sinθ= =
【解析】(1)利用圆柱体的体积为32π,求出R,即可求圆柱体的侧面积S侧的值;(2)设D是线段A1O1的中点,联结D1C,DC,O1C1 , 则C1O1⊥A1B1 , CO∥BB1 , 因此,∠C1CD就是异面直线CC1与BB1所成的角,求出DC1= ,CC1=
,即可求sinθ的值.
【考点精析】本题主要考查了旋转体(圆柱、圆锥、圆台)和异面直线及其所成的角的相关知识点,需要掌握常见的旋转体有:圆柱、圆锥、圆台、球;异面直线所成角的求法:1、平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线;2、补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系才能正确解答此题.
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【题目】已知数列{an},{bn}满足a1=1,且an , an+1是函数f(x)=x2﹣bnx+2n的两个零点,则b10等于( )
A.24
B.32
C.48
D.64
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【题目】如图,在三棱柱中,
底面
,
,
、
分别是棱
、
的中点.
(Ⅰ)求证:平面
.
(Ⅱ)若线段上的点
满足平面
平面
,试确定点
的位置,并说明理由.
(Ⅲ)证明:.
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【题目】已知函数,其中
为自然对数的底数.
(1)函数的图象能否与
轴相切?若能与
轴相切,求实数
的值;否则,请说明理由;
(2)若函数在
上单调递增,求实数
能取到的最大整数值.
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【题目】已知函数f(x)=|cosx|sinx,给出下列四个说法:
①f(x)为奇函数; ②f(x)的一条对称轴为x= ;
③f(x)的最小正周期为π; ④f(x)在区间[﹣ ,
]上单调递增;
⑤f(x)的图象关于点(﹣ ,0)成中心对称.
其中正确说法的序号是 .
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【题目】已知椭圆的离心率为
,左、右焦点分别为圆
,
是
上一点,
,且
.
(1)求椭圆的方程;
(2)当过点的动直线
与椭圆
相交于不同两点
时,线段
上取点
,且
满足
,证明点
总在某定直线上,并求出该定直线.
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