Question

【题目】已知函数f（x）=|cosx|sinx，给出下列四个说法：
①f（x）为奇函数； ②f（x）的一条对称轴为x= ；
③f（x）的最小正周期为π； ④f（x）在区间[﹣ ， ]上单调递增；
⑤f（x）的图象关于点（﹣ ，0）成中心对称．
其中正确说法的序号是 ．

Answer 1

【答案】①②④
【解析】解：函数f（x）=|cosx|sinx= （k∈Z），
①、f（﹣x）=|cos（﹣x）|sin（﹣x）=﹣|cosx|sinx=﹣f（x），
则f（x）是奇函数，①正确；
②、∵f（π﹣x）=|cos（π﹣x）|sin（π﹣x）=|﹣cosx|sinx=f（x），
∴f（x）的一条对称轴为x= ，②正确；
③、∵f（π+x）=|cos（π+x）|sin（π+x）=|﹣cosx|（﹣sinx）=﹣f（x）≠f（x），
∴f（x）的最小正周期不是π，③不正确；
④、∵x∈[﹣ ， ]，∴f（x）=|cosx|sinx= sin2x，且2x∈[﹣ ， ]，
∴f（x）在区间[﹣ ， ]上单调递增，④正确；
⑤、∵f（﹣π﹣x）=|cos（﹣π﹣x）|sin（﹣π﹣x）=|﹣cosx|sinx=f（x）≠﹣f（x），
∴f（x）的图象不关于点（﹣ ，0）成中心对称，⑤不正确；
所以答案是：①②④．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．