Question

已知复数z₁=sinx+λi，z₂=m+（m-cosx）i（λ，m，x∈R），且z₁=z₂．
（I）若λ=0，且0＜x＜π，求x的值；
（II）设f（x）=λcosx，求f（x）的最小正周期和单调递减区间．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用两个复数相等的充要条件求得tanx=，再由 0＜x＜π 可得 x的值．
（II）由z₁=z₂ 可得 λ=sinx-cosx，再利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为sin（2x-）-，由此求得函数 f（x）的最小正周期，由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，
k∈z，求得x的范围，即可得到f（x）的单调递减区间．
解答：解：（I）若λ=0，且0＜x＜π，由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-cosx=0，
∴sinx-cosx=0，tanx=．再由 0＜x＜π 可得 x=．
（II）由z₁=z₂ 可得 m=sinx，m-cosx=λ，∴λ=sinx-cosx，
∴f（x）=λcosx=（sinx-cosx ）cosx=-=sin（2x-）-，
故函数 f（x）的最小正周期等于 =π．
由 2kπ+≤2x-≤2kπ+，k∈z，可得 kπ+≤x≤kπ+，k∈z．
故f（x）的单调递减区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．
点评：本题主要考查两个复数相等的充要条件，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的周期性和单调性，化简函数的解析式为sin（2x-）-，是解题的关键，属于中档题．