Question

（2010•南宁二模）已知f（x）=sinx，g（x）=cosx，则有[f（x）]²+[g（x）]²=1，f（2x）=2f（x）g（x），类比上列，若设f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，则可得到f（x）与g（x）的一个关系式是

f（2x）=2f（x）g（x）

．（只须写出一种即可）

Answer 1

分析：写出“二倍角的正弦公式”的形式，据此二倍角公式写出类比结论即可．

解答：解：∵“二倍角的正弦公式”的形式是：
sin2x=2sinxcosx，
有类比结论：
设f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，
则可得到f（x）与g（x）的一个关系式是 f（2x）=2f（x）g（x）．
证明如下：
∵f（x）=

ex- e-x

2

，g（x）=

ex+ e-x

2

，
∴f（x）g（x）=

ex- e-x

2

×

ex+ e-x

2

=

1

2

×

e2x-e-2x

2

=

1

2

f（2x）
∴f（2x）=2f（x）g（x）．
故答案为：f（2x）=2f（x）g（x）．

点评：本题考查利用类比推理从形式上写出类比结论，写类比结论时：先找类比对象，再找类比元素．