Question

已知数列的前n项和为Sn，并且满足a1＝2，nan＋1＝Sn＋n(n＋1)．

(1)求{an}的通项公式；

(2)令Tn＝ Sn，是否存在正整数m，对一切正整数n，总有Tn≤Tm？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

（1）an＝2n.（2）m＝8或m＝9

【解析】(1)令n＝1，由a1＝2及nan＋1＝Sn＋n(n＋1)，①得a2＝4，故a2－a1＝2，

当n≥2时，有(n－1)an＝Sn－1＋n(n－1)，②

①－②，得nan＋1－(n－1)an＝an＋2n.整理得an＋1－an＝2(n≥2)．

当n＝1时，a2－a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，以2为公差的等差数列，

故an＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2)由(1)得Sn＝n(n＋1)，所以Tn＝ (n2＋n)．

故Tn＋1＝ [(n＋1)2＋(n＋1)]，令

即即

解得8≤n≤9.故T1<T2<…<T8＝T9>T10>T11>…

故存在正整数m对一切正整数n，总有Tn≤Tm，

此时m＝8或m＝9