Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD是一个菱形，且∠ABC，AB＝2，PA⊥平面ABCD．

（1）若Q是线段PC上的任意一点，证明：平面PAC⊥平面QBD．

（2）当平面PBC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为时，求PA的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）先证明BD⊥平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，设P(0,1,a)（a>0），求出平面PBC与平面PDC的法向量，利用向量夹角公式建立关于a的方程，解出即可．

（1）证明：∵四边形ABCD是一个菱形，∴AC⊥BD，

又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，

又AC∩PA=A，则BD⊥平面PAC，

∵BD在平面QBD内，

∴平面PAC⊥平面QBD；

（2）设AC，BD交于点O，分别以OB，OC所在直线为x轴，y轴，以平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则，设P(0,1，a)(a>0)，

则，

设平面PBC的一个法向量为，

则，则，

同理可求平面PDC的一个法向量为，

∴，解得a2=2，

∴．