Question

已知△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E．
（1）求证：AD的延长线平分∠CDE；
（2）若∠BAC=30°，△ABC中BC边上的高为2+，求△ABC外接圆的面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，
对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，
即AD的延长线平分∠CDE．
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H，则AH⊥BC．
连接OC，由题意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，∴∠OCH=60°．
设圆半径为r，则r+r=2+，a得r=2，
外接圆的面积为4π．
故答案为4π．
分析：首先对于（1）要证明AD的延长线平分∠CDE，即证明∠EDF=∠CDF，转化为证明∠ADB=∠CDF，再根据A，B，C，D四点共圆的性质，和等腰三角形角之间的关系即可得到．
对于（2）求△ABC外接圆的面积．只需解出圆半径，故作等腰三角形底边上的垂直平分线即过圆心，再连接OC，根据角之间的关系在三角形内即可求得圆半径，可得到外接圆面积．
点评：此题主要考查圆内接多边形的性质问题，其中涉及到等腰三角形的性质，属于平面几何的问题，计算量小但综合能力较强，需要同学们多练多做题．