Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，b_n≠0
（1）求证数列{

1

bn

}是等差数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）令c_n=

1

bn2n

求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可得a_n=b_n+1，结合2a_n=1+a_na_n+1，代入化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1，从而可得

1

bn+1

-

1

bn

=1，{

1

bn

}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可求得结论；
（2）由（1）知，C_n=c_n=

1

bn2n

=

n

2n

，利用错位相减可求数列的和．

解答： 解：（1）证明：∵b_n=a_n-1，b_n≠0
∴a_n=b_n+1
又2a_n=1+a_na_n+1，
∴2（1+b_n）=1+（b_n+1）（b_n+1+1）
化简得：b_n-b_n+1=b_nb_n+1…（2分）
∵b_n≠0
∴

bn

bnbn+1

-

bn+1

bnbn+1

=1
∴

1

bn+1

-

1

bn

=1
∵

1

b1

=

1

a1-1

=1
∴{

1

bn

}是以1为首项，1为公差的等差数列．…（4分）
∴

1

bn

=1+（n-1）×1=n，
∴b_n=

1

n

∴a_n=1+

1

n

=

n+1

n

…（6分）
（2）由（1）知，C_n=c_n=

1

bn2n

=

n

2n

∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①，

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②…（9分）
∴①-②得：

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

，
∴T_n=2-

n+2

2n

．

点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，求解数列的通项公式，错位相减求解数列的和是数列求和方法中的重点与难点，要注意掌握熟．