【题目】已知椭圆的左右焦点分别为,且.过椭圆的右焦点作长轴的垂线与椭圆,在第一象限交于点,且满足.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若矩形的四条边均与椭圆相切,求该矩形面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)易知,设,,根据勾股定理计算得到,得到椭圆方程.
(2)考虑矩形边与坐标轴平行和不平行两种情况,联立方程组根据得到和的关系,计算边长得到面积表达式,根据均值不等式计算得到答案.
(1)由,可知椭圆半焦距,
设,因为,所以,
在△中,,即,所以,
所以,解得,所以椭圆的标准方程为.
(2)记矩形面积为,当矩形一边与坐标轴平行时,易知.
当矩形的边与坐标轴不平行时,根据对称性,设其中一边所在直线方程为,
则对边所在直线方程为,
另一边所在的直线方程为,则对边所在直线方程为,
联立,得,
由题意知,整理得,
矩形的一边长为,同理,矩形的另一边长为,
,
因为,所以,所以(当且仅当时等号成立),
所以,则,所以.
综上所述,该矩形面积的取值范围为.
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【题目】某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况,对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计,并根据得到的数据绘制了相应的折线图,如图所示
(1)由折线图可以看出,可用线性回归模型拟合月利润(单位:百万元)与月份代码之间的关系,求关于的线性回归方程,并预测该公司2019年3月份的利润;
(2)甲公司新研制了一款产品,需要采购一批新型材料,现有,两种型号的新型材料可供选择,按规定每种新型材料最多可使用个月,但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不相同,现对,两种型号的新型材料对应的产品各件进行科学模拟测试,得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表:
使用寿命 材料类型 | 个月 | 个月 | 个月 | 个月 | 总计 |
如果你是甲公司的负责人,你会选择采购哪款新型材料?
参考数据:,.参考公式:回归直线方程为,其中 .
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆的方程为,圆的方程为,动圆与圆内切且与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程;
(2)已知与为平面内的两个定点,过点的直线与轨迹交于,两点,求四边形面积的最大值.
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【题目】在直角坐标系中中,曲线的参数方程为(为参数,).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动点,当时,求点到直线的距离的最大值;
(2)若曲线上所有的点均在直线的右下方,求的取值范围.
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【题目】已知,抛物线C:的焦点到直线l:的距离为.
(1)求m的值.
(2)如图,已知抛物线C的动弦的中点M在直线l上,过点M且平行于x轴的直线与抛物线C相交于点N,求面积的最大值.
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【题目】已知椭圆过点,且其离心率为,过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别相交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】动点到点的距离与到直线的距离的比值为.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点的直线与点的轨迹交于两点,,设点,到直线的距离分别为,,当时,求直线的方程.
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【题目】已知x与y之间的几组数据如表:
x | 1 | 2 | 3 | 4 |
y | 1 | m | n | 4 |
如表数据中y的平均值为2.5,若某同学对m赋了三个值分别为1.5,2,2.5,得到三条线性回归直线方程分别为,,,对应的相关系数分别为,,,下列结论中错误的是( )
参考公式:线性回归方程中,其中,.相关系数.
A.三条回归直线有共同交点B.相关系数中,最大
C.D.
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