Question

【题目】动点到点的距离与到直线的距离的比值为．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线与点的轨迹交于两点，，设点，到直线的距离分别为，，当时，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）设的坐标为，由题意可得等式，整理可得动点的轨迹方程；（2）由题意，可知直线的斜率为0时，不符合题意，当直线的斜率不为0时，则设直线的方程为：，将的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，，进而求出，可求出的值，进而求出直线的方程．

解：（1）设的坐标为，由题意可得，

整理可得：，

所以动点的轨迹的方程为：；

（2）当直线的斜率为0时，则直线为，

可得，，

则由题意，，则；

当直线的斜率不为0时，则设直线的方程为：，

设，，，，

联立直线与椭圆的方程：，

整理可得，

则，，

所以，到的距离之差为：

，

由题意可得，整理可得：，

解得：，即，

所以直线的方程为：或.