Question

如图，已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，S在底面上的射影O落在正方形ABCD内，且O到AB、AD的距离分别为2和1． P是SC上的点，

SP

PC

=

1

3

．
（1）求证：OP∥平面SAD；
（2）求证：

AB

•

SC

是定值．

Answer 1

分析：（1）已知四棱锥S-ABCD的底面是边长为4的正方形，在SD上取一点Q，使

SQ

QD

=

1

3

，只要证明四边形PQMO是平行四边形，再利用直线与平面平行的判定定理进行证明，即可解决问题；
（2）设点O向BC所引的垂线段为ON，利用向量的乘法进行证明．

解答：解：（1）证明：在SD上取一点Q，使

SQ

QD

=

1

3

，
设点O向AD所引的垂线段为OM．则OM=1．连接PQ，QM．
∵

SQ

QD

=

SP

PC

=

1

3

，
∴PQ∥CD．∵OM∥CD，∴PQ∥OM．∵

PQ

CD

=

1

4

，
∴PQ=1．∴四边形PQMO是平行四边形．
∴OP∥QM，∵QM?平面SAD，PO?平面SAD，
∴OP∥平面SAD．
（2）设点O向BC所引的垂线段为ON．
则ON=3，
∴

AB

•

SC

=

AB

•(

OC

-

OS

)=

AB

•

OC

-

AB

•

OS

=

AB

•

OC

=|

AB

||

OC

|cos∠CON=|

AB

||

ON

|=12．
∴

AB

•

SC

是定值．

点评：此题考查直线与平面平行的判断及向量的应用，第一问此类问题一般先证明两个面平行，再证直线和面平行，这种做题思想要记住，此类立体几何题是每年高考必考的一道大题，要注意这方面的题．