Question

6．设函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx-c}$，a∈N^*是奇函数，且f（1）=1，f（-2）＞-$\frac{7}{5}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）f（x）在（1，+∞）上的单调性如何？用单调性定义证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义f（-x）=-f（x），对定义域内x恒成立可求得c值，再利用条件列出关于a，b的关系结合a∈N^*，即可解决．
（2）利用单调性定义进行证明．

解答 解：（1）由题意，由f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx-c}$是奇函数，
得f（-x）=-f（x）对定义域内x恒成立，则
可得-bx+c=-（bx+c）对定义域内x恒成立，即c=0．
由f（1）=1得a=b-1，
由f（-2）＞-$\frac{7}{5}$得$\frac{4a+1}{-2b}$＞-$\frac{7}{5}$，∴0＜b＜$\frac{5}{2}$，
又a∈N^*，得b=2，a=1．
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+1}{2x}$；
（2）f（x）在（1，+∞）上单调递增．以下用定义证明．
设1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{1}{2}$[x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）]
=$\frac{1}{2}$（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$），
因为1＜x₁＜x₂，x₁-x₂＜0，1-$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}$＞0．
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，故f（x）在（1，+∞）上单调递增．

点评 本题主要考查函数奇偶性的应用和函数单调性的判断与证明，属于中档题．运用函数的定义判断证明函数的单调性的步骤：（1）取值；（2）作差变形；（3）定号；（4）下结论．