Question

已知函数f（x）=sin2x-（cos²x-sin²x）-1，x∈R，将函数f（x）的图象向左平移个单位后得函数g（x）的图象，
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）设锐角ABC三个角A、B、C的对边分别为a、b、c．若g（B）=0且=（cosA，cosB），=（1，sinA-cosAtanB），求的取值范围．

Answer 1

解：（1）由题意，得f（x）=sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1
因此，f（x）的最小正周期T==π
令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，得+2kπ≤x≤+2kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间为[+2kπ，+2kπ]，k∈Z
（2）∵将函数f（x）的图象向左平移个单位后得函数g（x）的图象，
∴g（x）=f（x+）=sin[2（x+）-]=sin（2x+）-1
由此可得g（B）=sin（2B+）-1=0，结合B∈（0，）可解得B=
∴=（cosA，cosB）=（cosA，），=（1，sinA-cosAtanB）=（1，sinA-cosA），
因此，=cosA+（sinA-cosA）=sinA+cosA=sin（A+），
∵A∈（0，），C=-A∈（0，）
∴＜A＜，得A+∈（，）
结合正弦函数的图象与性质，可得sin（A+）∈（，1）
即的取值范围是（，1）．
分析：（1）由二倍角的余弦公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2x-）-1，再结合正弦函数单调区间的公式和周期公式，即可得到f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（2）根据函数图象平移公式，可得g（x）=f（x+）=sin（2x+）-1，由g（B）=0可解得B=，从而得到向量、关于A的坐标形式，得到=sin（A+），最后结合三角形为锐角三角形和正弦函数的图象与性质，即可算出的取值范围．
点评：本题给出三角函数式，求函数的单调区间和周期，并求在闭区间上的最值，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．