Question

【题目】已知曲线.直线（为参数），点的坐标为.

（1）写出曲线的参数方程，直线的普通方程；

（2）若直线与曲线相交于、两点，求的值.

Answer 1

【答案】（1）（为参数）；；（2）.

【解析】

（1）由椭圆的参数方程的求法及椭圆的方程可得的参数方程，消去参数即可得直线的普通方程；

（2）法一：将直线的参数方程代入椭圆的普通方程可得关于的一元二次方程，利用韦达定理求出和，由可得，的符合相同，进而得出，即可求出结果；

法二：将直线的普通方程与椭圆的普通方程联立求出交点的坐标，进而利用两点间的距离公式求出和，进而求得的值．

解：（1）曲线，其参数方程为（为参数）.

直线（为参数），消去参数得：，

故直线的普通方程为：.

（2）法一：将直线的标准的参数方程代入椭圆中，

得：，

整理得：，

，，可得，同号，

所以．

法二：联立直线与椭圆的方程：，

整理得，即，

解得：，，

代入直线的方程可得，，

∴不妨设，，

.