Question

设f（x）的定义域为D，若f（x）满足下面两个条件，则称f（x）为闭函数．①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]．如果f(x)=

2x+1

+k为闭函数，那么k的取值范围是（　　）

• A、-1＜k≤-

  1

  2

• B、

  1

  2

  ≤k＜1
• C、k＞-1
• D、k＜1

Answer 1

分析：首先应根据条件将问题转化成：

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有两个不等实根．然后，一方面：可以从数形结合的角度研究两函数y=

2x+1

和y=x-k在[-

1

2

，+∞)上的交点个数问题，进而获得问题的解答；另一方面：可以化简方程

2x+1

=x-k，得关于x的一元二次方程，从二次方程根的分布情况分析亦可获得问题的解答．

解答：解：
方法一：因为：f(x)=

2x+1

+k为[-

1

2

，+∞)上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴

f(a)=a f(b)=b

，即f（x）=x在[-

1

2

，+∞)上有两个不等实根，即

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有两个不等实根．
∴问题可化为y=

2x+1

和y=x-k在[-

1

2

，+∞)上有
两个不同交点．

对于临界直线m，应有-k≥

1

2

，即k≤-

1

2

．
对于临界直线n，y′=(

2x+1

)′=

1

2x+1

，
令

1

2x+1

=1，得切点P横坐标为0，
∴P（0，1），
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．
综上，-1＜k≤-

1

2

．
方法二：因为：f(x)=

2x+1

+k为[-

1

2

，+∞)上的增函数，又f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴

f(a)=a f(b)=b

，即f（x）=x在[-

1

2

，+∞)上有两个不等实根，即

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有两个不等实根．
化简方程

2x+1

=x-k，得x²-（2k+2）x+k²-1=0．
令g（x）=x²-（2k+2）x+k²-1，则由根的分布可得

g(- 1 2 )≥0 k+1＞- 1 2 △＞0

，即

(k+ 1 2 )2≥0 k＞- 3 2 k＞-1

，
解得k＞-1．又

2x+1

=x-k，∴x≥k，∴k≤-

1

2

．
综上，-1＜k≤-

1

2

，
故选A．

点评：本题考查的是函数的最值及其几何意义．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想以及函数与方程的思想．同时二次函数根的分布情况对本体的解答也有相当大的作用．值得同学们体会和反思．