Question

已知等比数列{a_n}的公比为q，S_n是{a_n}的前n项和．
（1）若a₁=1，q≥1，求

lim

n→∞

an

Sn

的值；
（2）若a₁=1，|q|＜1，S_n有无最值？并说明理由．
（3）设q=

1

t

，若首项a₁和t都是正整数，t满足不等式：|t-63|＜62，且对于任意正整数n有9＜S_n＜12成立，问：这样的数列{a_n}有几个？

Answer 1

分析：（1）对q分类讨论，求出前n项和，即可求得极限；
（2）对q分类讨论，再对n分奇数、偶数讨论，从而可求S_n的最值；
（3）根据t满足不等式|t-63|＜62，可确定q的范围，进而可得S_n随着n的增大而增大，利用9＜S_n＜12，可求首项a₁，再分类讨论，即可求解．

解答：解：（1）当q=1时，S_n=na₁，a_n=a₁，∴

lim

n→∞

an

Sn

=

lim

n→∞

a1

na1

=0
当q＞1时，Sn=

a1(1-qn)

1-q

，

an

Sn

=

(1-q)qn-1

1-qn

，

lim

n→∞

an

Sn

=

q-1

q

∴

lim

n→∞

an

Sn

=

q-1

q

（q≥1）；
（2）若a₁=1，|q|＜1，则Sn=

1-qn

1-q

当0＜q＜1时，Sn=

1

1-q

-

qn

1-q

，所以S_n随n的增大而增大，而S1≤Sn＜

1

1-q

，此时S_n有最小值1，但无最大值；
当-1＜q＜0时，①n=2k，k∈N₊时，Sn=

1

1-q

-

(q2)k

1-q

，所以S_n随k的增大而增大，即n是偶数时，S2≤Sn＜

1

1-q

，即1+q≤Sn＜

1

1-q

；
②n=2k-1，k∈N₊时，Sn=

1

1-q

-

q2k-1

1-q

，所以S_n随k的增大而减小，即n是奇数时，

1

1-q

＜Sn≤S1，即

1

1-q

＜Sn≤1；
由①②可得1+q≤S_n≤1，
∴S_n由最大值为1，最小值为1+q；
（3）∵|t-63|＜62，∴-62＜t-63＜62，∴1＜t＜125，∴q=

1

t

∈（0，1），
Sn=

a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-( 1 t )n)

1- 1 t

，且S_n随n的增大而增大，∴（S_n）_min=S₁
∵对于任意正整数n有9＜S_n＜12成立，∴9＜S₁＜12，∴9＜a₁＜12，
∵首项a₁是正整数，∴a₁=10或a₁=11
a₁=10时，

lim n→∞ Sn≤12 1＜t＜125

，∴

10 1- 1 t ≤12 1＜t＜125

，∴

t≥6 1＜t＜125

，∴t∈[6，125），
∵t是正整数，∴124-6+1=119个；
a₁=11时，

lim n→∞ Sn≤12 1＜t＜125

，∴

11 1- 1 t ≤12 1＜t＜125

，∴

t≥12 1＜t＜125

，∴t∈[12，125），
∵t是正整数，∴124-12+1=113个；
∴共有119+113=332个．

点评：本题以等比数列为载体，考查数列的极限，考查等比数列的求和，考查数列的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于难题．