Question

6．已知F₁，F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点，椭圆上点M（$\frac{1}{2}$，$\frac{3\sqrt{5}}{4}$）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知过右焦点且垂直于x轴的直线与椭圆交于点N（点N在第一象限），E，F是椭圆C上的两个动点，如果k_EN+K_FN=0，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值．

Answer 1

分析 （1）由已知求得a，把已知的坐标代入椭圆方程得到关于a，b的关系式，把a代入求得b，则椭圆方程可求；
（2）求出N的坐标，设出NE所在直线方程，与椭圆方程联立求得E的坐标，同理求得F的坐标，代入两点求斜率公式可得直线EF的斜率为定值．

解答 解：（1）依据椭圆的定义2a=4⇒a=2，
∵$M（{\frac{1}{2}，\frac{{3\sqrt{5}}}{4}}）$在椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$上，
∴$\frac{1}{4{a}^{2}}+\frac{45}{16{b}^{2}}=1$，把a=2代入可得b²=3．
∴椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）得，c=1，则N（1，$\frac{3}{2}$），
设直线NE的方程为：$y=k（x-1）+\frac{3}{2}$，
代入$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，得$（3+4{k^2}）{x^2}+4k（3-2k）x+4{（{\frac{3}{2}-k}）^2}-12=0$．
设E（x_E，y_E），F（x_F，y_F），
∵点$N（{1，\frac{3}{2}}）$在椭圆上，
∴由韦达定理得：${x_E}+1=-\frac{4k（3-2k）}{{3+4{k^2}}}$．
∴${x_E}=\frac{{4{{（{\frac{3}{2}-k}）}^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{y_E}=k{x_E}+\frac{3}{2}-k$．
又直线NF的斜率与NE的斜率互为相反数，
在上式中以-k代k，可得${x_F}=\frac{{4{{（{\frac{3}{2}+k}）}^2}-12}}{{3+4{k^2}}}，{y_F}=-k{x_F}+\frac{3}{2}+k$，
∴x_F+x_E=$\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{F}-{x}_{E}=\frac{24k}{3+4{k}^{2}}$．．
∴直线EF的斜率${k}_{EF}=\frac{{y}_{F}-{y}_{E}}{{x}_{F}-{x}_{E}}=\frac{-k（{x}_{F}+{x}_{E}）}{{x}_{F}-{x}_{E}}$$+\frac{2k}{{x}_{F}-{x}_{E}}$
=$\frac{-k•\frac{8{k}^{2}-6}{3+4{k}^{2}}+2k}{\frac{24k}{3+4{k}^{2}}}=\frac{1}{2}$，
即直线EF的斜率为定值，其值为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，属中档题．