Question

在棱长为4的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是正方形A₁B₁C₁D₁的中心．点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP．
（1）设O点在平面D₁AP上的射影是H，求证：D₁H⊥AP；
（2）求V锥P-ABD1．

Answer 1

分析：（1）连接A₁C₁，利用O点在平面D₁AP上的射影是H，通过证明AP⊥面D₁OH，然后证明D₁H⊥AP；
（2）直接通过转化利用V锥P-ABD1=VQ-ABD1=VB-D1QA，求解V锥P-ABD1．

解答：解：（1）证明：连接A₁C₁
∵正方体AC₁∴O为A₁C₁的中点∴D₁O⊥A₁C₁
又 A₁A⊥面A₁B₁C₁D₁∴A₁A⊥D₁O∴D₁O⊥面A₁ACC₁
AP?面A₁ACC₁∴D₁O⊥AP
由已知OH⊥面AD₁P∴OH⊥AP
∴AP⊥面D₁OH，又D₁H?面D₁OH
∴AP⊥D₁H（6分）
（2）解：在DD₁上取点Q，使DQ=1
∴DQ

∥ .

.

CP∴PQ

∥ .

.

CD
又CD

∥ .

.

AB∴PQ

∥ .

.

AB
AB?面ABD₁，PQ?面ABD₁
∴PQ∥面ABD₁
∴V锥P-ABD1=VQ-ABD1=VB-D1QA=

1

3

•

1

2

•3•4•4=8（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的性质的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理能力与计算能力．