Question

【题目】已知函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），给出以下四个命题： ①x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x）；
②x1 ， x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ， 有 ；
③x1 ， x2∈（0，1），有 ；
④x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|．
其中所有真命题的序号是（ ）
A.①②
B.③④
C.①②③
D.①②③④

Answer 1

【答案】D
【解析】解：对于①，∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），且其定义域为（﹣1，1）， ∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），
即①x∈（﹣1，1），有f（﹣x）=﹣f（x），故①是真命题；
对于②，∵x∈（﹣1，1），由 ，
可知f（x）在区间（﹣1，1）上单调递增，
即x1 ， x2∈（﹣1，1）且x1≠x2 ， 有 ，故②是真命题；
对于③，∵f′（x）= 在（0，1）单调递增，∴x1 ， x2∈（0，1），
有 ，故③是真命题；
对于④，设g（x）=f（x）﹣2x，则当x∈（0，1）时，g'（x）=f'（x）﹣2≥0，所以g（x）在（0，1）单调递增，所以当x∈（0，1）时，g（x）＞g（0），即f（x）＞2x；由奇函数性质可知，x∈（﹣1，1），|f（x）|≥2|x|，故④是真命题．
故选：D．
【考点精析】解答此题的关键在于理解命题的真假判断与应用的相关知识，掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．