Question

【题目】已知函数f（x）为增函数，当x，y∈R时，恒有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）

（1）求证：f（x）是奇函数.

（2）是否存在m，使，对于任意x∈［1，2］恒成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）存在，.

【解析】

（1）利用赋值法证明f（－x）＝－f（x），即证明f（x）为奇函数；（2）假设存在m，即在x∈［1，2］时恒成立，再配方利用二次函数求解.

（1）令x＝y＝0得f（0）＝0

令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0

∴f（－x）＝－f（x）　

∴f（x）为奇函数.

（2）假设存在m　则，

∵f（x）为奇函数且单调递增，　　

∴，

∴，

∴在x∈［1，2］时，恒成立.　　　

∴　在x∈［1，2］上，恒成立.　

设，

所以在∈［0，1］上，恒成立.　

∴