Question

如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1km，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2km，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

 

Answer 1

（1）10km.（2）a≤6

【解析】1)令y＝0，得kx－ (1＋k2)x2＝0，由实际意义和题设条件知x>0，k>0，故x＝＝≤＝10.当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10km.

(2)因为a>0，所以炮弹可击中目标?存在k>0，使3.2＝ka－ (1＋k2)a2成立?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.所以当a不超过6(km)时，可击中目标．